[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유

오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던

조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )

과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.

평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면

한 번 쯤은 해봤을 고민이죠. 

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    왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?

    (편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?

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(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지

그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.

그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.

하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.

이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음

평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.

여기서 편차의 제곱 대신,

편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?

이를 알아보기 위해

세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고

(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.

  (1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.

    그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서

    완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.

    따라서 (편차)²의 평균은 일 때

    즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.

  (2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.

    그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서

    분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

    따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,

    즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다. 

대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,

대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은

n개 의 변량 에 대해서도 마찬가지입니다.

  (3) (편차)²의 평균

    따라서 (편차)²의 평균은 일 때,

    즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.

  (4) (편차의 절댓값)의 평균

    i) n이 홀수일 때

        일 때 최소

    ii) n이 짝수일 때

        x가 구간 에 속할 때 최소

    i), ii)로부터

    (편차의 절댓값)의 평균은  또는 일 때

    즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.

따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로

평균 에 대한 분산을

으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.

또한 변량 의 중앙값이 일 때

(편차의 절댓값)의 평균

를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼

변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.

그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면

중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.

덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,

미분/적분이 상대적으로 쉽죠.

추가적인 장점이 또 있는데

그건 제가 이해를 못해서... 

[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)

[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.

  본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.

  다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.

  http://orbi.kr/0005897498