[박수칠] 함수 f(x)g(x), f(x)/g(x)의 그래프 개형 (미적분2)
미적분2에서 미분법의 활용 단원의 문제들은
대부분 함수의 그래프와 연결됩니다.
특정 함수의 그래프 특성을 물어보는 문제도 있고,
접선 문제, 최대·최소 문제, 방정식·부등식 문제를 풀기 위해
그래프를 그려야하는 경우도 있습니다.
이를 위해 함수의 그래프 개형을 파악하려면
많은 요소들을 고려해야 합니다.
미적분1처럼 함수의 증가·감소와 극점 파악은 기본이요,
아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점, 점근선까지 알아야 하죠.
특히 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점에 대한 조사는
이계도함수를 이용해야 하기 때문에 귀찮습니다.
그런데 도함수나 이계도함수를 이용하기 전에
함수식의 특성만으로 그래프 개형을 어느 정도 짐작할 수 있다면
그래프를 그리거나, 그래프 관련 문제를 풀 때 상당히 유리하겠죠.
이 글에서는 함수식이
f(x)g(x)의 꼴 또는 f(x)/g(x)의 꼴로 표현되는 함수에 대하여
도함수와 이계도함수를 거치지 않고 그래프 개형을 파악하는 법에 대해
얘기하고자 합니다.
도함수나 이계도함수를 이용하지 않고 그래프 개형을 파악하는 과정은
다음의 3단계로 이루어집니다.
(1)단계: 함수식으로부터 다음의 요소들을 조사
① 우함수, 기함수 같은 그래프의 대칭성
② 정의역과 x절편
③ y값의 부호
④ 점근선
(2)단계: (1)단계에서 찾은 각 요소들을 좌표평면에 표시
(3)단계: (2)단계에 표시된 요소들을 곡선으로 부드럽게 이어주기
이 과정을 제대로 이해하려면 예가 필요하겠죠?
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 0과 1
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 x(x-1)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y > 0, 구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → 0 이므로 x → -∞일 때 점근선 y = 0
x → ∞일 때 y → ∞ 이므로 x → ∞일 때 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2)단계
x축 위에 x절편을 표시한 다음,
y의 부호에 맞춰 그래프가 지나는 모양을 표시
점근선의 위치도 y의 부호에 맞춰 표시
(3)단계
(2)단계에서 표시한 요소들을 곡선으로 부드럽게 이음
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
이 정도면 비슷하죠? ^^
계속해서 다른 예도 살펴봅시다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ (x-2)² ≥ 0 이므로 y의 부호는 lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, 2), (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
(함수식에 (x-2)²이 포함되어 있기 때문에
그래프가 x=2일 때 x축에 접함을 예상할 수 있음)
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 0을 제외한 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ y의 부호는 x(x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y < 0, 구간 (0, 1)에서 y > 0,
구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → -∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향함
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프는 오른쪽 위로 향함
x → 0-일 때 y → -∞이므로 점근선 x=0
x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x=0
(분자 차수) ≥ (분모 차수)이므로 분자를 분모로 나누면
y = x -3 + 2/x 가 되고,
x → ±∞일 때 2/x → 0이므로 y ≒ x-3 으로 볼 수 있음
따라서 x → ±∞일 때 점근선 y = x-3
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 (x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 왼쪽 위로 향함
x → ∞일 때 y → 0이므로 점근선 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 2를 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → 0이므로 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 1을 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 2
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → 0이므로 x → 0+일 때 그래프가 원점으로 향함
x → 1-일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 1
x → 1+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 1
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(구간 (0, 1)에 변곡점이 존재하지만 개형에서는 확인 불가능)
지금까지의 예를 보면 이 방법이 참 잘 통하는 것 같은데…
그럴싸한 함수만 예로 들어서 그런 것이지
절대 만능은 아닙니다.
그럼 어떤 함수가 잘 통하는가?
f(x)g(x), f(x)/g(x)의 꼴에서 f(x), g(x) 각각이
실수 범위에서 예쁘게 인수분해되는 다항함수
또는 간단한 지수함수, 로그함수여야 합니다.
여기에 맞지 않다면
증가·감소와 극점, 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점을
파악하기 위해 도함수, 이계도함수에 대한 조사가 필수입니다.
예를 들어 다항함수 부분이
실수 범위에서 인수분해되지 않으면
x절편과 점근선만으로 극점의 위치를 예상할 수 없습니다.
다음은 함수 
의 그래프입니다.
이 함수의 분자 5x²+3x+1이 실수 범위에서 인수분해되지 않기 때문에
x절편, y의 부호, 점근선만으로 그래프 개형을 그린다면
극대, 극소가 나타나지 않습니다.
그러니 잘 활용하되, 맹신하지는 마세요~ ^^
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
수능날 교복입고가야하는건 아시죠? 정문앞에서 입구컷당해요
-
계속 헷갈려서 그러는데 -2의 0제곱은 -1인가요? 글고 -1의 0 제곱은 1인가요?
-
100 100 1 99 100 06의 힘을 보여주겠다
-
아 진짜 마렵네 0
가까운 바위 주소좀 알려주실분
-
이거 안 봐도 되겠죠?
-
국어 안풀리면 넘기기 수학 계산 한번에 잘하기 영어 듣기푸는동안 독해 쉬운거 화학...
-
님들 도표에서 증가율 감소율 절댓값씌운값(항상+)로 비교하는거죠? 적중예감13회...
-
군수각 안 보이면 그냥 복학해야지 어거지로 해봤자 시간날리고 스트레스 받을 것 같음
-
이제 슬슬 짝수형 받을 때가 됐는데 …
-
하루가최성이다 0
하루가최성이고최성이내하루고내하루는종일최성이었다
-
뉴스만 보도하는것 같냐 아무도 불법시위에 관해 언급을 안하네 ㅋㅋ
-
한국사 공부 끝 0
작수 47점 이제 못해도 3은뜨겠지뭐
-
물리 고여서 1컷 높아진 것보단 걍 시험이 쉬웠긴 함 6
어렵게 내려면 기존 느낌 유지하면서도 어렵게 낼 수 있음
-
롯데졸음껌
-
앞으로도 감사할 예정입니다 감사합니다
-
39점 박음 적중예감 42-47 진동 사만다 파이널 1회 47 2회 42 진짜 정신...
-
정법러들아 3
다들 예열지문 머 가져감?
-
AB-BB면 내신이 어느정도인가요??
-
1. 실험법은 통제집단 없어도 진행되는 것 맞나요? 2. 가설 수용 기준은...
-
가보자 ㅠㅠㅠㅜㅠㅠ 내소원이야
-
설마설마설마 이러다 수능까지
-
배고파 2
화요일은2시부터8시까지연강임 근데 아침만먹고먹은게없네크아아악
-
라마야 ㅈ까자 안감 라 마 적 가 자 x 감
-
공학다니는 친구한테 물어보니까, 책상에 다 저런 치마가리개 붙어있다는데 저거...
-
본인 니트 2장(흰검) 셔츠 2장(흰파) 후드티 2장(회색,파랑) 청바지...
-
국어 백분위 100 수학 백분위 93 영어 3 지1 사문 100수렴 내신 bc 제...
-
오늘 원대치대나온 치과에서 치아 검사하고 담주에 예약잡고나오니까 오늘 치아 검사한...
-
다들 심정 어때요..? 16
흠..
-
"네게 보여줄 수 없는 내 삶 이별로 널 지키려해" -히카 필적확인란 중- 지난...
-
[속보] 동덕여대 총장 "폭력사태에 엄중한 책임 물을 것" 6
동덕여자대학 '남녀공학 전환'을 두고 학생들이 교내에서 시위를 이어가고 있는 가운데...
-
오빠아파잠깐만
-
정신 차릴 때쯤이면 해가 지는구나....
-
아플래너괜히샀나 0
똑같은 루틴으로 공부하는데 굳이 샀나 싶음.. 요즘엔 쓸시간에 수학 한 문제라도 더...
-
"동덕여대" 0
1. 학생들의 반대에도 대학측에서 일방적으로 밀어붙인 사안이면 저렇게 발작하면서...
-
최근 사설따리 10개중 6개가 1컷+5점이상…수능만 제발
-
내 갤럭시워치와 옷 신발 전부 다 걸고 말함 버스타고 집 가면서 유튜브로 군대썰...
-
유력지문 하나하나 대충 읽어봐야할지 고민이네유
-
한수 파이널 10회차 77 설맞이 2-2 88 리얼트레이닝 4회차 47 이제 집...
-
화학에 흥미를 못느끼는데 수시충이라 어쩔수없이 해야해서요ㅠㅠ 16명이라 3등급까지가...
-
라벨 뜯어놔요 그냥 냅뒀다가 지학 부정행위로 걸리면 ㅋㅋㅋㅋ 근데 ㄹㅇ 신고한 새끼...
-
조금만 쉽게나와도 1컷 96 이럴꺼같음
-
현역.재수 때 0
사문.정법.경제 섞어서 2개씩 봐서 2.3만 진동했는데 24살에 수능볼때는 고대...
-
나도슬슬떠날때가 7
ㅇㅇ..
-
Case 분류도...
-
컷 나오기 전) 그래도 이 정도면 딱 약불인데? 언매 88 화작 92 정도 뜰 듯?...
-
션티 현강 0
고2 모의고사 기준 77~83정도 나오는데 션티 현강 가기 전에 어떤거 하고 가면 따라가기쉬울까요?
-
갑자기 궁금
-
국어 예열지문 볼때 지문만 보는건가요 문제도 같이 푸는건가요? + 컴싸랑 지우개는...
-
정원 늘리고 자시고 그런건 논란 있을 수 있으니까 넘어가고 서울에 단 2개 나머지...
-
또 저녁에는 ㅈㄴ 어려웠다 1컷 44-45본다 이러다 10시에 최초컷 47 나오는 거 아니겠죠? 하
ㅗㅜㅑ
개꿀 팁 사랑합니다
와 2분만에 첫플!
감사합니다 ^^
이거 삽자루센세가 기출이랑 해모 해설할때 쓰시던 것이네요 ㅎㅎ 유툽에서 보고 신기해서 배워뒀네요
2014학년도 수능 30번 문제 풀 때 진짜 쓸만하죠~
난만한씨의 곱함수의 그래프 개형이 기억나군요 ㅋㅋ
한완수 최신판도 본문처럼 설명되어 있나요?
2012년에 나온 한완수 가지고 있는데
거기서는 f(x), g(x) 각각의 특성을 조합하는 방식으로
그래프를 그렸던 것 같거든요. (좀 어렵...)
네 지금도 f(x),g(x) 로 각각 나누어서 각각의 특성을 이용하여 간단한 개형을 추론하는식으로 나와있을꺼에요 . 저는 도함수와 이계도함수를 이용하지않고 개형을 추론해보는것에 주목해서 생각난다고 말한듯 ㅎ
아~ 그렇군요.
좀 어렵긴 하지만 확장성 면에선 한완수에 기술된 방식이 더 좋죠.
본문의 방식은 x절편이 없으면 망이라... ^^;
t->inf t^2/e^t =0인건 어떻게..아나요??
1. ∞/∞꼴이고 분모·분자가 모두 미분가능하기 때문에 로피탈 정리를 2번 씁니다. 로피탈 정리 적용 결과가 수렴하기 때문에 문제 없습니다.
2. e^t을 테일러 급수로 전개합니다. 그럼 차수가 무한대인 다항식이기 때문에 위 극한이 0으로 수렴함을 알 수 있습니다.
3. 고등학교 과정 내에서 설명하려면 세 단계를 거쳐야 합니다.
(1) n → ∞일 때 e^n / n² →∞의 증명
e=1+h로 두면 이항정리에 의해 다음이 성립합니다.
e^n = (1+h)^n = nC0 + nC1·h + nC2·h² + nC3·h³ + ···
= 1 + n·h + { n(n-1)/2 }·h² + { n(n-1)(n-2)/6 }·h³ + ···
e^n / n² = 1/n² + ( 1/n )·h + { (n-1)/2n }·h² + { (n-1)(n-2)/6n }·h³ + ···
여기서 네 번째 항 때문에 n → ∞일 때 e^n / n² → ∞입니다.
(2) (1)로부터 n → ∞일 때 n² / e^n →0임을 알 수 있습니다.
(3) (2)로부터 x → ∞일 때 x² / e^x →0임을 알 수 있습니다.
ㅎㅎ 이항정리 방법일 것 같았습니다. 미2 내용만으로 설명할 수 있는 방법이 있나요ㅡ?
+1. 에서 로피탈..? 정리 적용 결과가 수렴하면 문제없나요?
이항정리로 보이는 방법 알고 계셨나요?
전 어떤 분이 이항정리로 증명하는 건 어떻겠냐고
아이디어 던져줘서 알아낸건데... ㅡㅡa
로피탈 정리에 대해선 다양하게 찾아봤는데
'로피탈 정리 적용 후에도 수렴해야 한다'라는 조건까지
붙이는 것이 가정을 제일 tight하게 적용하는 경우더라구요.
http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
이 이상의 제약 조건이나 반례는 아직 못찾았습니다.
이전에 학생들 가르칠 때, 어디 학원에서 배워왔다고 하더군요 ㅎㅎ
미적분내용이아니어서 그냥 넘겼었는데..
로피탈 정리 적용 결과가 0이 아닌 값에 수렴해도 되나요?
그랬군요 ^^;
로피탈 정리는 적용 후에 0이든, 0이 아니든
상수로 수렴하기만 하면 문제 없습니다.
lim_(x→∞) { (x+sinx) / x } 처럼
분모·분자 미분 후 발산하면 로피탈 정리를 적용할 수 없구요.
대칭성의 유무는 어떻게확인하나요..?
정의역의 임의의 원소 x에 대하여
(1) f(-x)=f(x)가 성립하면 y축에 대해 대칭 (우함수)
(2) f(-x)=-f(x)가 성립하면 원점에 대해 대칭 (기함수)
(3) f(a-x)=f(a+x)가 성립하면 직선 x=a에 대해 대칭
(4) f(a-x)=-f(a+x)가 성립하면 점 (a, 0)에 대해 대칭
등이 있습니다.
그래프 그릴 땐
(1), (2)에 해당되는지 판단하는 걸로 충분하구요.
헐 개꿀... 감사합니드..♡
저도 감사드리고,
꼭 써먹을 기회가 왔으면 좋겠네요~ ^^
이관데 박수칠 미적12둘다샀는데 미적1은 어느정도 깊이로 하면될까요 ?기본문제위주로하고 수능모위기출까지는풀지말까요?
최소로 잡아도 본교재에 실린 기출은 모두 보는 것이 좋다고 생각합니다.
직접 출제 범위는 아니지만 발상이나 해법이 미적분2와 연결되니까요.
최대로 잡으면 여기( http://orbi.kr/0005897498 )에 있는
부교재 연습문제까지 다 푸는 거구요.
아울러 정오표도 꼭 참고해주시구요.
교재 구입 감사드리고,
오류/오타 때문에 학습에 불편을 드려 죄송합니다.