논리학 이야기

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명제 "P이면 Q이다" 에서 전건 P가 그 자체로 거짓이라면 전체 명제는 항상 참이 됩니다. 수학적으로 생각해보면 모든 집합은 공집합을 부분집합으로 가지기 때문이라고 할 수 있고, 더 쉽게 생각해보면 다음과 같이 직관적으로 설명할 수 있습니다. (수학을 이용한 공집합 논리 역시 논증을 하려면 아래의 공허한 참 논리가 필요합니다.)

선생님께서 "다음 시간까지 숙제를 해 오지 않으면 혼을 내겠다." 라고 하셨는데, 그 말을 들은 철수는 다음 시간까지 숙제를 해 갔으나 숙제를 했음에도 혼이 났다. 철수는 본인이 숙제를 했는데 왜 혼을 내느냐고 항의했으나, 선생님은 이에 다음과 같이 답했다. "숙제를 하지 않으면 혼을 내겠다고 했지, 숙제를 하면 혼을 내지 않겠다고 하지 않았다. 따라서 나는 거짓말을 하지 않았다."

이 예시와 같은 자연어적 표현에서는 인과관계가 들어있지만, 인과관계를 배제하고 단순 진리함수적 관계만을 살펴본다면 선생님은 숙제를 해 오는 경우에 대해서는 아무 말을 한 적이 없기 때문에 숙제를 해 오는 경우 혼을 내든 내지 않든 거짓말을 했다고 볼 수가 없는 것입니다. 즉, 거짓을 가능성 자체가 사라진 상황에서 반드시 참 또는 거짓 둘 중 하나여야 하므로 참으로 간주할 수 있다는 것이죠.

노

이를 공허한 참(공허한 진리)라고 부르는데, P가 항상 거짓이므로 P가 참인 경우가 존재하지 않기에 P가 참인 모든 경우에 Q가 참이 된다고 할 수 있는 허무한 경우입니다.

중요한건 이 공허한 참 이야기가 아니라, 문장 연결사의 진리함수적 사용에 대한 이야기입니다. 진리함수적 사용이란, 단순히 말하면 자연어적 문장 논리가 논리적으로 잘 정의된다는 것입니다.

예를 들어, "그들은 결혼을 했다. 그리고 아이를 낳았다." 를 문장 문자를 이용하여 표현하면 P : "그들은 결혼을 했다.", Q : "그들은 아이를 낳았다." 에 대하여 P and Q (P & Q)가 될 것입니다. 하지만 순서가 반대가 된 "그들은 아이를 낳았다. 그리고 결혼을 했다." 는 의미가 완전히 다르죠 (속도위반). 이렇듯 "그리고" 라는 자연어는 &로 해석이 되며 자연어적 서술이 가지는 뉘앙스를 문장 연결사에 모두 담을 수가 없기 때문에 이러한 문제가 생깁니다. 이 경우 P & Q와 Q & P는 자명하게 동치임에도 불구하고 둘 중 하나만 참이게 되어, 오직 P와 Q의 진리값에 의해서만 전체 명제의 진리값이 결정되지 않는 상황이 발생하여 문장 연결사가 진리함수적으로 사용되지 않은 경우가 됩니다.

또 다른 재밌는 예시는 역설의 일종으로, 마찬가지로 문장 연결사가 진리함수적으로 사용되지 않은 예시입니다.

"만약 이 나무 막대가 금속으로 만들어져 있다면, 열을 가했을 때 수축할 것이다."

이 문장 자체는 직관적으로 생각했을 때 거짓입니다. 금속이었으면 (그리고 굳이 금속이 아니더라도) 당연히 열팽창을 하겠죠. 하지만 이 "나무 막대"는 금속이 아니기 때문에 전건이 거짓이 되어 공허한 참에 의해 전체 명제는 참이 됩니다. 따라서 이 경우 이 문장 전체를 하나의 문장 문자로 생각해야 합니다.

더 직접적인 예시로 다음과 같은 예시도 있을 것입니다.

"만약 내가 로또에 당첨되었더라면, 나는 로또에 당첨되지 않았을 것이다."

직관적으로 생각해보면 당연히 말이 안 되는 거짓인 문장입니다. 하지만 저는 로또에 당첨되지 않았기에 전건이 거짓이 되어 문장이 참이 되어버리죠. 이 경우 전체 문장은 참일까요? 거짓일까요?

* 비전공자가 논리학 수업을 듣고 간단하게 작성한 내용이라 틀린 내용이 있을 수 있습니다. 재미로만 읽어주시길