미분가능과 도함수연속성
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
오전에는 1살 많은 형 면접 봤길래 소고기 좀 사주고 방금까지는 고딩 친구들이랑...
-
저랑 열살차이남...
-
이과고 답 딱딱 떨어지는 거 원해요 하나는 지구할 건데 말장난 안 하는 생지 마냥...
-
진짜 솔직히 4안 빼고 다 짜침
-
김승리는 양이 개많은 것 같은데 할 수 있을 지 모르겟어요 일단 현강 신청은...
-
올해 수능 2컷떴고 강기분으로 기출 1회독은 한 상태에요 김승리쌤이 더 많이...
-
국수를 커리어 하이 찍었는데 탐구를 개쳐 망해서 이거 시립대 까지는 가능 할까요?
-
논술 경쟁률 0
30명대면 많이 안 빡센거임?
-
어떻게 측정하는 거지
-
동기들과, 중고등 동창과, 부모님과 긴 대화를 나눴다 유난히 긴 하루이다.
-
ㅇㄱㅈㅉㅇㅇ?
-
솔직히 지2 0
공부 시작 하자마자 개념양에 놀랄걸요 옛 지1 과정 다 올라가고 더 심화내용 물어...
-
제곧내입니다... 성균관이나 서강대 정외도요...
-
안녕
-
ㄹㅇ
-
공대로는 그냥 딱 동홍 중간과 일까요? 건대 낮과가 될까요? 이 성적대에서...
-
님들이라면 어디가시나요
-
있었긴 했음 물론 몇년 전이긴 함...
-
생각나는거그대로텍스트로옮겨서그대로올려버리는데 제가읽어도 한번에 이해하기힘듦.....
-
경희대 과상관없이 아예 불가능할까요? 건동홍은 어느정도 과까지 괜찮을까요
-
제목에는 거창하게 양자역학이 들어갔는데 무슨 헤밀토니안 연산자라던지 슈뢰딩거, 디락...
-
나중엔 뱃지달아주는 대학이라도 간거에 좋았는데 왜자꾸
-
흐흐
-
캬… 26 표지 이런거로 기대했는데 다시는 안나올 정도의 표지인듯여
-
미적 선행 질문 0
제가 고1이고 수12는 해놨고 평가원도 한바퀴 돌려놨는데 미적 선행은 언제할까요?...
-
4달동안 누워있을 수 있고 .... 난 수능을 안 쳐서 곧 기말준비를 해야하거든.
-
????????????????제발알려주셈요
-
수능 준비하는 3년간 몸이 쓰레기가 되서 운동하려그러는데 뭐부터 해야되나요
-
수특 표지보니 26수능은 역대급 물수능이다
-
컷당하면 돈내고 수업이나 들어야겠다 걍 재종이랑 똑같은 커리를 단과로 신청해서...
-
오늘부터 다시 열심히 할게요
-
현정훈 조교되면 1
시대재종 물2수업 카메라 촬영 겸 강의 들을 수 있나요? 안되려나 ㅋㅋㅋ
-
뿌듯한데 ㅋㅋㅋㅋ
-
현역인지 n수인지는 모르겠어요
-
홀수회차랑 짝수회차랑 이원화 일원화 왜 나눠지는거임?
-
ㅈㄴ아깝지도 않게 틀렸네ㅋㅋㅋ
-
맞팔구해요 11
불쌍한삼수부엉이가금테를달수있도록 도와주세요
-
이제 내가 여기 있으면 재수생 처럼 보인다는 거 아니야
-
라면 ㅊㅊ 좀 2
라면 ㅊㅊ점 국물 있는걸로
-
현장에서 탐구까지 끝나고 맞춰봤는데 내 친구들은 58 76이였음 쫄려서 제2외...
-
이벤트해주신 쉬라몬님 감사해요 이제 현역인데 맛있게 먹고 공부 열심히할게요!!
-
태그에 없다? <-- 다 개틀딱임
-
존잼분위기나네요
-
24 지구 2등급 베이스였고 사탐 1,1받고 대학가고싶어요 안정적으로 통수...
-
부탁할게요 ㅠㅠ
-
생명 36 0
3 뜰 가능성 없나요..
-
늙은거 체감 확되네;;
-
뭐에서 놓친걸까요 저거
-
공부를 너무 안함.. 오늘은 까르보불닭맵기로 부탁드립니다..
-
이정도인가
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=