미분에 대하여
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점 를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
개에반가요 좋은 대학은 가고 싶은데 공부를 잘 안함 미친놈이
-
근데 고전시가 0
필수어휘만 암기하고 읽는법 익힌다음에 수특수완것만 공부해도 됨?
-
악!
-
갑자기 궁금해짐
-
?
-
마른 몸매 남자 여자 다른지 같은지 궁금해서 조사함
-
미치겠네 4
대학공부안풀려서갑자기오르비등장
-
수학 노베 0
8주안에 개념 다 듣고 그 후에 쎈 풀면 4등급은 나올 수 있을까요?
-
야구는 갱상도! 1
-
지구 내부 구조에 대한 문제에서 부분 용융 상태에 대해 문제에 왕왕 등장하는데요.....
-
같은 학교인 사람이 있네 일1베충 여성시대에 워마드 까지 하는놈인데 어쩌다가...
-
저 32점 뜸
-
질받 4
밥먹고 옴 메뉴는 피자!
-
심정지를 죽음의 기준으로 친다면 심장이 한번 뛰고 다음 뛰기까지의 시간동안 나는...
-
블아일기 10
키쿄뽑앗읆.. 너무 이쁘군..
-
러셀 일과중에 10
바자관 나와서 내부 단과 들으러 갈때는 휴대폰 챙겨가도 되나요?안..되겠죠..?
-
생명하눈분들 5
이런건 지금 나오면 정답률 40퍼 넘음?
-
1.권리이자 의무의 성격을 동시에 갖는 기본권은? 2.헌법기본원리는 안바뀌나요?...
-
[지구과학1]드디어 내일 2024학년도 수능 지구과학 해설지를 배포합니다! 0
드디어 완성의 고지에 다가가고 있는 2024학년도 수능 지구과학1 해설지.. 내일...
-
사수는 가슴이 시킨다
-
비하 이런거 제외하고 다 가능?
-
디질게 5
다시살아날게
-
달에 얼마정도 드나요??
-
100구던지고 김영웅한테 156 159 던지는거 돌아버릴뻔 근데 이걸지네 ㅅㅂ...
-
여자분들만 댓글 부탁드립니다..! 혹시 대학 가시면 선배나 동기한테 대시 많이...
-
번화가쪽 가면 대부분 훈남훈녀 많고 스타일 깔끔해서 자존심 떨어짐
-
요즘 어떤 할아방탱이 스트리머에게 중독돼서 하루종일 그것만 봅니다… 8
아사람 논란있는 분이시던데…
-
저 윤스타는 있는데
-
나이 많은사람 꽤 있음? 나처럼 20중이상
-
뭐하지
-
사실바로반칸옆항이라서 엄밀한 증명 할 생각 없습니다 엄밀성 관련해서 태클 걸지 마세요 ))오타수정
-
운동하지 마라 ㅅㅂ
-
그럼 10년전엔 어떠셨다는건지...
-
나도 무물받는다 5
암거나 고고
-
팀플 너무많아서힘드러
-
기출 돌릴 생각인데 한완기가 괜찮을까요, 인강 선생님 기출 문제집이 괜찮을까요?...
-
이감 3-1은 2뜨고 3-2는 3뜨고 3-4는 59점으로 57이 4컷인데 4가...
-
기말 공부 싫어서 오랜만에 들어와봤슴ㅎㅎ
-
정시 기준으로 대학 라인 한급은 올라가나요? 예를들어 서성한 성적이 연고대 가고...
-
뼈밖에 없는거 말고 그냥 딱 볼때 그냥 말랐네 정도
-
좋았던 출판사 있으신가요???
-
'과팅' 얘밖에 답이없는거같다
-
?? 꽤어려운 15찍맛 76
-
킬캠 1회 12번이랑 그냥 같은 문제네요..ㄷㄷ 대 우 진
-
은근 좋은 기출문제집 같지 않나요? 아님 말고
-
만들어야지
-
니들이 보기엔 어떰?
-
173번 버스 10
오르비켜라