칼럼) 눈으로 확인하는 순간변화율 - 넓이

이번에는 ‘눈으로 확인하는 순간변화율’이라는 테마를 넓이에 적용시키는 칼럼으로 찾아뵈었습니다.

칼럼으로 쓸 계기는 사실 작년 6월 20번인 아래문제 때문에 생각을 하게 되었는데요,

아마 이 문제를 보고 이런생각들 하셨을겁니다.

당연히 합성함수미분 중에서 일차항의 계수가 1인 상황정도는 수2에서도 할 수 있어야 하는 것 아니냐?

네 물론 과거기출에는 있었으니 당연히 할 수도 있죠. 

다만, 현재는 없으니까 일말의 찝찝함은 남겨둘 수 있다고 생각합니다. 저도 수업할땐 저렇게 가르쳐요. 하지만 그런걸 원하지 않는 사람도 있을 수 있겠다 싶어서 한번 작성해봅니다.

먼저 결론부터 이해해보자면 이렇습니다.

넓이의 순간변화율은 넓이의 움직이는 끝(선분)이다.

개념은 이렇게 출발합니다. 점이 모이면 선분이고 선분이 모이면 면이라는 말을 언젠가 들어보셨을 겁니다. 이걸 고등수학을 배우고나면 이렇게 이해할 수 있을겁니다.

선분(1차식)을 적분하면 2차식(넓이)가 된다.

즉 넓이의 위끝이나 아래끝 혹은 양끝이 변수라면 결국 그 넓이의 순간변화율은 구간 끝의 함숫값의 크기(선분) 이라는 의미로 받아들일 수 있다는 내용입니다.

아 물론, 그냥 쌩으로 미분때리면 어짜피 이해가 금방 되지 않냐고 말 할 수 있는데 한번 같이 밑의 내용을 보시면 제가 무슨말을 하려하는지 좀 더 이해가 빠르지 않을까 싶습니다.

(첨언하자면 언제 넓이가 최대최소인지 눈대중하면서 헷갈렸던 부분을 논리로 채워나가자는 의미입니다)

미리, 조금 더 요약해서 이해하자면 아래그림과 같습니다

자 이게 어떤상황에서 쓰이고 이걸 어떻게 우리가 얻어내서 이해해야 할지 이제 한번 예시 문제들을 통해서 접근해봅시다

왜 특정 값인  a를 구한 다음에 이 값을 계산하라고 한 것이 아닌, 단순히  를 구하라 했는지 

한번 생각해 볼 필요가 있습니다. 그러기 위해선 함수 부터 생각할 필요가 있겠죠.

함수 는 항상 1차함수의 일부분이며 주기가 2입니다. 그리고 1차함수의 각 부분은 기울기가  1또는 –1입니다. 다시말해서 똑같은 속도로 x좌표가 변한다면 넓이의 변화율이 최소 주기단위만큼의 길이를 가지고 있다면, 변화율이 0이라 항상 넓이가 동일함을 생각해볼 수 있습니다. 

구간의 길이가 4인 상황에서  a를 한번 움직인다고 생각해봅시다.

구간의 길이가 4라는 것은 주기의 2배임을 의미하고 각  x=2k( k는 정수)에서  a가 떨어진 만큼과  a+4가 떨어진 길이가 동일합니다. 다시말해서 변화율이 증가한만큼 감소하기 때문에 항상 0임을 알 수 있고, 넓이또한 항상 동일함을 알 수 있습니다. 다시말해서 답은 a 값에 관계없다는 것을 알 수 있죠.

아직은 좀 생소한 개념이라 한번에 와닿지는 않으실겁니다. 그냥 미분하는게 더 편하지 않나? 라는 생각이 드실텐데요 바로 비슷하지만 조금 다른문제로 또 이해해보겠습니다

방금전의 문제에 비하면 상황이 살짝 복잡해졌습니다. 함수가  x축 아래인부분도 존재하고, 주기는 8인데 구간의 길이는 2이기 때문이죠.

여기서 우리가 관찰할부분은 ㄴ입니다. 나머지는 적당히 움직여보면서 쉽게 발견할 수 있기 때문이죠. 구간  (-2,2)를 한번 생각해봅시다. 

넓이의 구간의 길이가 2이기 때문에 점점   는 음의 값으로 커지는걸 알 수 있고, 따라서 ㄴ도 참이 됩니다.

이젠 좀 더 최신문제로 한번 점점 다가가 보겠습니다

이문제는 왜 뜬금없이 들고왔는지 이해가 잘 되지 않을수도 있습니다. 하지만 이렇게 바꿔보면 어떨까요?

이렇게 보면 넓이의 변화율로 ㄱ과 ㄴ을 풀 수 있겠죠? 한번 접근해봅시다.

부터 한번 살펴봅시다

ㄱ.

왜냐하면 애초에  의 변화율도 순간 0이기 때문이죠.

이제 ㄴ을 생각해봅시다.

여기서 헷갈리지 말아야 합니다. 이미 더해진 상수의 넓이가 아닌, 넓이의 변화율이 서로 일치하는 상황만을 보자는 겁니다. 그런데 가만히 생각해보면 이차함수에서  x=0 일때와 순간 변화율이 같아지는 지점은 x=2 이죠. 따라서  p=2에서 순간 ‘넓이의 변화율’이 같아지는 것이고 그래서 미분가능한 것입니다. p=2 를 제외한 순간에서는 더이상 발견할 수 없겠죠?

방금까진 단순히 변화율, 그리고 증감의 상황에 대해서 알아봤는데 이제부터는 최대최소 혹은 극대극소 상황도 같이 살펴봅시다

를 한번 그려서 관찰해봅시다.

이제부턴 위에서 배운 내용을 가지고 무지성 식을 통한 계산이 아닌, 예측 후 식으로 계산하는 연습을 할 예정입니다.

여기에선 언제 넓이가 최소가 될까요? 물론 역시 식으로 접근하기에는 쉬울지도 모릅니다. 하지만 계속해서 정진해봅시다

일단 넓이의 길이는 총 4입니다. 우리가 중요하게 생각해야할 부분은, ‘넓이’ 에 현혹되는 것이 아닌, ‘변화율’에 집중해야 합니다. 자 일단, 넓이의 변화율은 어떻게 이루어지는지 좀 더 상세히 생각해봅시다.

맨 처음 언급했었는데 다시 한번 더 언급하자면 ‘점이 모이면 선이고, 선이 모이면 면이다.’ 

간단하게 얘기하자면, 넓이의 변화율은 직선입니다. 다시말해서 왼쪽의 끝과 오른쪽의 넓이의 끝이 변화율이 같아지는순간이 보통의 극대, 혹은 극소의 순간이 될것입니다. 

언제 최소일지 알겠나요? 함숫값이 동일하면서  x값의 차이가 4인 순간, 바로 극솟값을 가지는 것을 알 수 있습니다.

(x좌표의 차이가 4이면서 함숫값이 동일한 상황)

그 다음문제를 한번 또 살펴봅시다

간단하게 생각해보면, 절댓값이 접힌 전후로  x값의 차이가 1일 때 함숫값이 같은 상황이 최소, 완전히 접혀 올라간 상황일 때가 최대겠죠?

그리고 다른 조건인 ‘x=1과   x=4 에서 극소’ 라는 조건을 사용해봅시다.

참고로 x의 차이가 1인건 특수한 상황이기 때문에 저럴 수밖에 없는겁니다.

이제 익숙해졌나요?

<번외, 미적분편>

앞서 얘기한 내용을 토대로 말해보자면 넓이의 끝에 해당하는 선분이 곧 넓이의 순간변화율이란 얘기를 했었습니다. 이런 문제가 항상 위에서 언급한 순간만 등장하는지 좀 의문이실 수도 있는데, 미적분에서 등장할 수 있는 단계도 한번 얘기해봅시다.

단순히 이 문제를 풀때를 생각해보면 어짜피 아래모양도 등장하겠구나를 떠올릴 수 있겠죠?

따라서 경우 나눈 후 각각 구간에 따른 함수를 식을 세워서 미분하고 계산하는게 답이긴 합니다.

여기서 우리는 앞에서 배운 내용을 적용시켜봅시다.

g(x) 의 극댓값과 극솟값을 각각 구해야 그 차이를 계산할 수 있을 것이므로 언제 극대와 극소가 등장하는지 살펴봅시다.

x=0 일때부터 쭉~ 넓이가 증가하고 있죠?

x=1 일때라 넓이가 이미 다 증가한 상황입니다. 

여기서의 이해가 중요합니다. x=1 일 때 넓이 증가의 순간변화율이 최대를 찍은 상황입니다. 이 이후 파란색의 길이가 넓이의 감소역할을 하고 빨간색이 넓이의 증가역할을 하는데

빨간색의 길이 < 파란색의 길이 < x=1 이 되었을 때의 파란색의 길이

이라 증가하던 부분이 순식간에 감소하는 부분으로 바뀌었고, 증가하는 부분이 존재하더라도 여전히 감소하는 부분의 변화율보다 변화율이 작은 상황입니다. 즉 이 이후로는 넓이가 감소하는 상황이 펼쳐집니다 그래서 x=1 일 때 순간적으로 넓이가 최대(극대)가 찍히는 것이죠.

하지만 여기서 감소하는 부분과 증가하는 부분의 순간변화율이 같아진다면? 순간변화율은 0입니다. 이때 상황을 이해해보자면 넓이의 감소가 드디어 멈춘 것으로 이해할 수 있습니다. 이 순간 이후에는 넓이가 계속 증가할것이므로 이순간이 순간적으로 넓이의 극소임을 알 수 있습니다.

그리고 저때의  x좌표를 찾아봅시다.

그 이후에는 넓이가 다시 증가하는 것을 알 수 있습니다.

이렇게 생겼음을 알 수 있습니다. 주의할 것은 구간이 제한되어있다는 점이므로 아까처럼 위아래로 움직이는 것이 아닌, 한방향으로 움직이는 넓이라는 점이겠죠.

바로 (빨간색 길이) + (파란색 길이) = 12 가 되는 순간이겠죠.

그리고 이때의 좌표를 각각 잡아볼 때 빨간색 길이가 12의 절반인 6이 되어야 함을 알 수 있습니다. 따라서 이를 이용하면

임을 계산결과에 마저 적용할 수 있습니다.