도형 문제에서 삼각함수의 극한 근사 (ft. 22 6월 분석)

*뒷 부분 문제 풀이에 2022학년도 6월 미적분 28번을 활용했습니다. 그리고 이전 글에서 '기출 분석 얼마나 해야되냐'라고 물어봐주신 분이 계셔서 제가 고등학교 3학년 때 6모 끝나고 그 다음 날 정리했던 파일을 공유합니다. 이 정도 분석하면 '1회독은 했다'라고 말할 수 있으리라 생각합니다! 학습에 참고하시면 좋겠습니다.

삼도극 근사는 크게 두 종류가 있습니다.

1. 식을 작성하기 전에 상황부터 근사해서 생각하는 것

2. 식을 작성한 후에 식을 근사해서 정리하는 것

저는 1번은 피하고 2번을 추구하는 타입입니다. 이유는 1번을 잘못 생각하다가 망하기 쉽다고 느꼈기 때문입니다. 반면 2번은 논리적인 과정을 통해 증명 가능하기 때문에 훈련 후 적극적으로 사용하길 권합니다. 저도 22 6모에서 처음 평가원 삼도극 문항을 현장에서 접했을 때 '하...' 하다가 극악의 근사 치기로 답 잘 냈던 기억이 있거든요 ㅎㅎ

그래서 이번 시간에는 '2. 식을 작성한 후에 식을 근사해서 정리하는 것'을 소개하겠습니다. 물론 이거 특별한 거 아니고 유튜브든 오르비든 구글이든 어디든 검색하면 나오긴 하는데 저도 종종 설명할 일이 있을테니.. 제 방식대로 가볍게 남겨둘게요.

물론 교과서적으로 lim 분배해 극한을 구하실 수 있을 때 이런 수능 개념들을 공부하기 시작해야합니다.

정석대로 풀지도 못하면서 이런 스킬만 익히면 실력 안 늘어요. (당연한 말)

우선 근사에 대한 이해를 하려면 '삼각함수를 특정 구간을 잡으면 다항함수로 표현해도 괜찮다'라는 것을 알아야합니다. 이것은 '테일러 급수'라는 것을 알아야 우리가 표현할 수 있는데요, 테일러 급수는 테일러 정리를 통해 정의하고 테일러 정리는 평균값 정리의 일반화된 상황입니다.

<평균값 정리 (Mean Value Theorem)>

닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능한 함수 f(x)는 위를 만족합니다. 이때 저 E를 뒤집어놓은 듯한 기호는 'exists'로서 존재한다는 뜻이고 's.t.'는 such that으로 '다음을 만족하는' 정도입니다. 정리해보면 '조건을 만족할 때, 두 끝 점의 평균변화율과 같은 값의 순간변화율을 가질 때가 존재한다' 정도겠네요.

이는 아래와 같이 작성해볼 수 있습니다.

그리고 기하, 확률과 통계 선택자 분들을 위해 이계도함수와 n계도함수에 대해 살펴봅시다. 먼저 도함수의 정의는 다음과 같습니다.

그리고 이계도함수의 정의는 다음과 같습니다.

뭐 이거 이렇게 표현해도 문제 없긴 하겠죠

아무튼 같은 방식으로 3계도함수는 이럴 것이고

그럼 n계도함수는 이럴 것을 알 수 있죠!

자 이제 넘어가봅시다.

<테일러 정리 (Taylor's Theorem)>

닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)와 f^(n)(x)에 대해 열린 구간 (a, b)에서 함수 f^(n+1)(x)가 정의되면 이렇게 쭉 가서...

닫힌 구간 [a, b]에서 함수 f(x)와 f^(n)(x) (f(x)의 n계도함수, n번 미분한 함수) 가 연속이고 f^(n+1)(x)가 열린 구간 (a, b)에서 정의될 때 위가 성립합니다.

초반부를 다음과 같이 이해해본다면

n=0일 때가 우리가 수학2에서 공부했던 평균값 정리임을 확인할 수 있습니다.

단순히 표현해보면 다음이 되겠습니다.

여기서 우리가 상수 b를 독립변수 x로 바꾸어주면 다음과 같은 형태가 될 것이고요

이제 아래와 같이 함수를 잡았을 때

만약 다음이 성립한다면

n->inf일 때 우리가 f(x)를 이렇게 작성해볼 수 있겠죠

즉, 우리는 테일러 정리 조건을 만족하는 함수 f(x)에 대해 n->inf일 때 R_n(x)->0이라면 다음을 얻을 수 있습니다.

그리고 우리는 이것을 x=a를 중심으로 한 테일러 급수라고 할 거예요! (대충 x=a 근처에서는 좌변의 함수를 우변의 다항함수로 근사할 수 있다 정도로 받아들이시면 충분할 것 같습니다)

상황을 만족하는 대표적인 함수 몇 가지를 가져와 적당한 a값을 잡아보면 이제 이러합니다.

자 수고하셨습니다! 이제 우리가 삼도극에서 자주 볼 sin(x), 1-cos(x), tan(x)에 대해 생각해봅시다. sin(x)에 대한 x=0을 중심으로 한 테일러 급수를 전개해보면

sin은 이렇게 될 것이고 cos은 x=0을 중심으로 테일러 전개 해보면 다음과 같으니까

1-cos은 이렇게 되겠네요!

tan는 규칙성이 조금 특이해서 일단 다음과 같이 된다 정도만 확인해두시면 되겠습니다.

그럼 이제 문제를 풀어볼까요?

테일러 급수 통해 분자를 다항함수로 잡아준 다음에 분모 분자를 x로 나눠주면 lim 분배 가능하겠죠? 

이때 우리가 x->inf면 최고차항 계수를 비교하듯 앞으로 x->0이면 최저차항 계수를 비교할 생각을 하자고 합시다.

같은 방식으로 이게 성립함도 확인할 수 있고

이게 성립함도 확인할 수 있습니다.

보통은 우리가 아래의 sin(x)~x, 1-cos(x)~x^2/2, tan(x)~x로만 근사를 배워

극한을 처리하는데 이렇게 되면 다음과 같은 상황에서 문제가 생깁니다.

이처럼 최저차항이 날아갈 때는 x->inf 일 때 입장에서는 최고차항이 날아가는 셈이기 때문에 단순히 x-x=0으로 생각하면 안됩니다. 다시 말해 이는 부정형 감성이기 때문에 직접 계산을 해주어야 하고 교과서대로 식 조작 후 근사하면 이렇게 해결 가능합니다.

혹은 테일러 급수 때리면 이렇게도 됩니다.

이제 정리해주면 다음과 같이 1/2을 얻을 수 있습니다.

추가로 만약 다음과 같이 주어졌어도 테일러 급수 활용해 간단히 해결해볼 수 있겟죠!

자 여기까지면 끝! 근데 평균값 정리의 확장으로 테일러 정리를 알고 얘를 n->inf 했을 때 마지막 항이 0으로 수렴하면 테일러 급수로 함수를 표현할 수 있는데 이걸 뭐 어떻게 뭐... 너무 길죠? 그래서 그냥 다음 결과만 기억하면 되고, 최저차항 날아갈 때만 조심하자고 생각하면 됩니다.

자 그럼 문제 하나 풀어보고 끝낼게요. 제가 처음에 언급해던 2022학년도 6월 미적분 28번을 봐봅시다!

도형 해석은 각자 해보시고.. 제가 현장에서 얻었던 식은 다음과 같고 간단히 근사해볼게요

이렇게 해서 저는 각의 이등분선 성질을 써서

이거랑

이거 구했습니다. (이때 점 S 직선 AP와 직선 BQ의 교점이며 오르비 수식편집기에서 선분 표시 어떻게 하는지 모르겠어서 그냥 대충 적었습니다. 아시는 분 있으면 댓글 좀)

자 아무튼 오늘의 결론!

최저차항이 날아가지 않으면 삼도극에서 근사 열심히 해보자