[칼럼] 가장 쉬운 각변환 방법

고등학교 수학 교과서에서는 각변환을 다음과 같이 설명합니다.

하지만 이는 매우 번거롭고 복잡한 과정이며, 암기할 부분도 상당히 많습니다.

또한 왜 예각으로 가정을 해야하는지, 예각 가정이 왜 성립하는지, 얼싸안고는 또 무엇인지, 홀짝을 어떻게 판단하는지 등등 처음 배우는 학생들에게는 받아들이기 어려운 내용이고, 네이버 지식인이나 당장 오르비에도 관련 질문이 수두룩합니다.

누군가 갑자기 sin(3pi/2 + x)는?  이라고  물었을 때 답을 구하기 위해 상당히 많은 과정을 거쳐야하죠.

하지만 위상자 그림만 머릿속에 넣고 있으면 1초만에 - cos x라고 답할 수 있습니다.

이 위상자법을 이용하기 위해 암기해야할 내용은

1. 삼각함수의 기우성 (매우 기본적인 내용)

2. 삼각함수의 주기 ( '' )

3. 축의 이름

뿐입니다. 수학에서는 일반적으로 반시계방향을 양의 방향으로 설정하므로 각이 더해질 때 반시계방향으로 회전시킨다는건 잊어버릴 수가 없습니다.

위상자를 이용해서 각변환을 할 때는 축 이름만 기억하면 됩니다. 위 그림에서 x축의 양의 방향 = sin축, y축의 양의 방향 = cos축이며, 음의 방향은 마이너스가 붙습니다.

삼각함수를 하나의 벡터처럼 다루며, 벡터의 길이가 삼각함수 앞에 곱해진 계수를 나타냅니다.

가장 중요한 점은 각의 덧셈이 벡터의 회전으로 나타난다는 점인데, 빨간색 벡터 두 개를 보면 theta에서 pi/2를 뺐으므로 sin theta 벡터를 시계방향으로 90도만큼 회전시키기만 하면 - cos theta가 나온다는 것을 알 수 있습니다.

누군가 sin(3pi/2 + x)를 구하라고 하면 sin축 = x축에서 반시계방향으로 270도만큼 돌리면 됩니다. - cos x겠죠. 이렇게 쉬울 수가 없습니다.

참고로 탄젠트에서도 동일한 방법이 성립합니다만, 주기가 pi라서 아래 그림에서 한 각이 270도가 아니라 90도라고 간주하고 돌려야합니다. 그것과 축 이름만 기억하면 나머지는 동일합니다.

이 위상자법의 가장 큰 장점은 각변환 뿐만 아니라

1. 덧셈정리

2. 합-곱 공식

3. 곱-합 공식

4. 합성 (교육과정에서 제외되긴 했으나 최대최소를 구할 때 유용할 수 있음)

도 모두 증명하고 계산에도 적용할 수 있습니다.

이렇게 말이죠. (합성은 첫 번째 위상자 그림에 나와있습니다.)

옛날에 비슷한 내용의 글을 올린 적이 있는데, 최근에 각변환으로 고통받는 지식인 질문자들을 보고 너무 안타까워서 다시 올립니다.

학교 서술형 문제에서는 당연히 교과서식으로 해야하고, 수능에서 유용하게 사용하시면 됩니다.

이미 다른 방법을 통해 안정적이고 빠르게 각변환이 가능하다면 굳이 모르셔도 되지만, 각변환이 조금이라도 헷갈리거나, 답을 구하는 데 글씨를 쓰거나, 2초 이상이 소요되신다면 위상자법을 익히는 것도 고려해볼 합니다.