행렬 AB=E이면 AB=BA는 자명한가?
AB=E 이면 AB=BA는 자명한가?
1. 행렬에서 위 성질의 중요성
위 명제의 성질은 수능기출에 참으로 많이 등장합니다. 그것도 계속해서 연이어서...
아래 붉은 색 글씨로 된 지문에 모두 적용이 됩니다. (최근 수능 기출 지문 발췌)
2. 일반적으로 범하는 오류
역행렬의 정의는 AB=BA=E입니다.
단지, AB=E는 역행렬의 정의라고 말 할 순 없습니다.
그런데 AB=E이면 역행렬관계이므로 AB=BA 라고 잘못된 오해를 많이 하고 있죠.
또 개중에 공부하면서도 무언가 이상하다고 생각은 하고 있지만, 명쾌한 해설을 못 찾고 있을 것입니다.
역행렬의 정의에 부합하지 않는데, 역행렬이라고 언급한 후, 그렇기 때문에 교환이 성립한다는 이해는
위 명제의 중요성에 비추어 절대로 있어서는 안되는 오류입니다.
수능에 계속 반복출제되는데, 계속해서 오류를 범하면 안 되겠죠!
3. 명확한 정리 및 이해
결론부터 말씀드리자면, “ AB=E 이면 AB=BA 이므로 역행렬의 정의에 부합한다. ”라고 이해하셔야 합니다.
“역행렬이기 때문에 교환이 성립한다” 와는 완전 반대 이야기입니다.
이것을 증명해 보도록 하죠.
따라서 AB=E 이면 AB=BA 이므로 A 와 B는 역행렬 관계이다.
킬러문항 집중탐구 강좌는 공부하면서 각 단원별로 어려운 주제만 골라 명쾌하면서도 집중적으로 정리하는 강좌입니다.
오르비클래스 신동훈샘이었습니다.
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저도먼가잘못알았던것을배우고갑니다
그런데수능에는 케일리헤밀턴정리는안나오겠죠?
ㅋㅋ 아래 논쟁의 글을 보니 떠오르는 생각은 이런 겁니다.
케일리 해밀턴 정리가 교과 과정인지 아닌지, 수능에 나오는지 아닌지 갑론을박 이야기하는 것보다는 교과서와 익힘책 내용에 포함된 내용과 그렇지 않은 내용을 정확히 구분할 수 있도록 학습지도하는 것이 중요하구나..... 라고 느낍니다.
전 그 논쟁의 실익이 별로 없다고 생각하기 때문에 저는 살짝 빠져 있을 겁니다. ㅋㅋㅋ
서로 필요충분조건인걸 왜 이러해서 저러하다고 이해해야되는거지...?
필요 충분이라기 보다는 보통 학생들이 (저도 현역 때 어떤 인강선생이 역행렬은 교환법칙 성립하는게 중요하다 며 잘못 가르쳤었지만.. 교과서는 코난샘이 쓰신 대로 적혀 있음)
AB=E 이면 역행렬이니까 AB=BA 야! 라고 알고 있지만 , 사실은
AB=E 랑 AB=BA 가 만족해야지 A와 B 가 역행렬 관계이다.. 가 '정확한 정의'라고 말하려고 하시는 것 같네요.. 저도 재수하면서 교과서 보면서 깨달은 거라(-_-)a
요지는 '학생들이 역행렬관계의 정의를 잘못알고 있다' 인것 같네요..
오호~~~ 저 보다 더 정확히 잘 아시네요~~~ 굿~~~~
아 ㅋㅋ 감사합니다.. 이런거 몇 개 더 올려주시면 안되나요??
독재생이라서 좀 불안? 하다고 해야 할까.. 놓친게 있으려나..
이런 생각 들 때도 있어서요..
네~~ 그래요 제가 가끔식, 아니 최대한 노력해 볼께요~~~ 님같은 댓글이 저에게 힘을 주네요~~~
좋은 글이네요~ 저도 가끔씩 혼동할 때가 많아요.
감사합니다. 저도 포카칩님 글 재밌게 읽어요~~~
AB=E이면 BA=E임을 보이는게 모 대학 구술문제였고 모 논술학원에서 다뤘던 문제기도 한데.. 거기서는 귀류법으로 유일성을 증명했는데 여기서는 케일리해밀턴을 사용했군요
좋은 글 잘 읽었습니다. ^^ 역행렬 교환법칙 증명에 있어서 한 가지 궁금한 것이 있는데요,
AB=I이면 ABA=(AB)A=IA=A이다. 그런데 A=IA=(AB)A=A(BA)=AI=A이므로 BA=I이다. (∵ A, B는 정칙행렬)
정방행렬 조건과 곱의 결합법칙을 가정할 때, 이렇게만 증명하면 논리적으로 허술한 점이 있나요?
(여기서도 AI=IA=A라는 항등원의 정의를 쓰긴 했습니다만!)
AB=I 일 때, 항등원의 정의를 쓰져 않으려고 한 건데, 바로 쓰신거 같네요....^^
"그런데 A=IA=(AB)A=A(BA)=AI=A이므로 BA=I이다"를 보면, 앞부분 중간에 BA = I 가 나오기 때문에, 결국 너티키드님의 증명은 BA = I이면 BA = I임을 증명한 것입니다. 따라서 논리적으로 비약이 있습니다.
A=A(BA)에서부터 BA=I를 이끌어온 것인데 (항등원의 유일성) 다소 논리적 비약이군요 ㅠ.ㅠ
이런 증명같은 경우는 다양하게 생각해보는 것이 좋다고 해서 항등원의 정의를 통해 증명해보려고 했는데 어렵네요!
답변 감사합니다 ^^
AB=BA=E여야 역행렬이 존재한다는게 이 글의 주 골자인데,
즉, AB=E인게 A랑 B가 역행렬관계인게 보장되는게 아니라고 하는것 같은데
증명과정에서 처음에 왜 ad-bc를 바로쓴것인지 궁금합니다.
요약 : 'AB=E이면 A의 역행렬이 존재'하는건 위에것(AB=BA=E)에 따른 따름정리 아닌가요? AB=E이면 ad-bc≠0인걸 먼저 증명해야 하는 것 아닌가요?
우리가 역원을 정의할때도 교환법칙이 성립하는건 정의이지 정리가 아닌데..
두산동아 교과서에서도, AX=XA=E를 만족하는 행렬 X가 존재할 때, X를 A의 역행렬이라고 한다.
라고 나와 있어요. 그러니까 고교과정에선 이게 그냥 정의인거죠.
순환논리 증명같아서 한번 댓글 달아봅니다.
증명 : AB=E이면 det(AB)= det(A) det(B) =1 이므로 det(ad-bc) = 0이 아님.
디미넌트 성질들 성분으로 증명하셨을텐데
처음부터 AB=I이면 AB=BA=I인걸 성분으로 증명하는게 낫지 않나요?
그리고 케일리헤밀턴정리는 N차에서 일반적으로 쓰이는건데 학생들이 이게 왜 정리인지도 모르게 굳이 2차 케일리헤밀턴을 도입하는 이유가 납득이 안되네요.
대학생인가요 수험생인가요?
교과서 익힘책이나 기타의 고교과정에서는 케일리 헤밀턴 정리를 2차에서만 논의합니다.
그 이상을 언급하는 건 오바겠지요.
그리고 성분으로 증명한다는 건 무슨 의미인지?....
제가 님의 윗글을 읽으면서 느끼는 건데, 행렬식과 역행렬의 정의가 지니는 수학적 의미를 혼동하고 계신게 아닌가 싶습니다.
행렬식은 단지 역행렬의 존재성-존재하는지 하지 않는지만을 언급하는 반면,
역행렬의 정의는 그 존재하는 역행렬이 무엇인지를 구체적으로 말하고 있습니다.
따라서 AB=BA=E여야 역행렬이 존재한다고 언급한 님의 말은 올바르지 않습니다.
AB=E만으로도 역행렬은 존재한다고 말할 수 있기 때문입니다.
제 말을 전혀 이해 못하시는 것 같은데, 전 할말 다했구요 수고하세요~
우리가 역원을 정의할때도 교환법칙이 성립하는건 정의이지 정리가 아닌데..
이부분이 뭔가 좀 이상하네요, 역원을 정의할 때, 교환법칙이 성립할 필요는 없습니다.
역원의 정의에는 교환법칙이 성립해야 한다는 말은 없습니다.
행렬은 곱셈에 대해 교환법칙(임의의 A, B에 대해 AB=BA)이 성립하지 않지만,
B가 특정한 행렬인 A의 역행렬인 경우에는 임의의 A에 대해 AB=BA=E를 만족하게 됩니다.
그러니까 제 말의 요지는 연산에서 교환법칙이라는 말은 임의의 둘에 대해 성립할 때 쓰는 말이지,
둘 중 하나가 특정된 상태에서는 교환법칙이라는 말을 쓸 수 없다는 것이죠.
그런데 고등학교 과정에서 역행렬은 교환법칙이 성립함을 전제로 하여 역행렬이라고 이야기하는 것이 아닌가요?
선형대수 다배우고나서야 그 전제가 전제가아니라는 것으로 바뀔텐데 고등학생에게 이 논리는 오히려 혼란을 줄테고요..
사실 이 이야기가 절대 쉬운 이야기가 아닌데..
이게 정답이네
글내용 하나도 이해안가서 댓글보면서 이해할라고하고있었는데ㅋㅋㅋㅋ
쓰릉합니다 포모 꼭살게요~
집합 G에서 어떤 결합법 ○(2항연산)을 생각할 때, G의 임의의 원소 a에 대하여 a○a'=a'○a=e(e는 단위원)가 되는 a'가 단 1개 존재하면, a'를 연산 ○에 대한 a의 역원이라 한다.
오ㅋㅋ명쾌해요!!! 평소에는 그냥 이게 맞나 생각하면서 썼었는데 정말 감사합니다
증명이 좀 아쉽네요. 디터미넌트를 써야 되는것이 말이죠.
AB=E 일 때 A=( a b c d ) 라고 두고 계산해서 B를 구하면 그 유명한
B= 1/(ad-bc) ( d -b -c a) 가 나오죠.
이 때 BA를 계산해보면 E 나옵니다.
행렬 B를 그렇게 나타낼려면 det(A) =ad-bc 가 0이 아니어야 겠죠.
그러한 언급없이 바로 쓸순 없습니다.
행렬식은 오로지 역행렬의 '존재성' 만을 말합니다.
존재하는 그 역행렬이 무엇인지는 구체적으로 말하고 있지 않죠,
그래서 역행렬이 존재한다는 소결론 하에 그 역행렬을 잡아 나가는 겁니다.
AB=E 이면 BA=E이다. 를 증명하는 것인데 "역"자는 나올 필요도 없습니다.
AB=E 라는것 자체가 A,B가 "존재"해서 AB=E라는 것을 의미합니다. 행렬 A의 ad-bc≠0 이 이미 전제가 되어있는겁니다.
행렬 A에서 B를 구하는 과정에서 ad-bc=0이면 모순이 되는것을 혼동하시는 것 같네요.
오케이 님이 하시는 말씀이 무슨 말인지 알았네요~~~
오케이~~ 좋네요~
오류가 있네요. 정말로 이 증명이 이 글의 주장을 뒷받침 한다고 생각하세요? 지금 증명한것은 AB=E -> BA=E 라는 사실입니다. 오히려 'AB=E 를 만족시키는 B' 가 A의 역행렬임을 가정할때, BA=E를 보여주고 있죠. 그니깐 AB=E 라는것이 역행렬의 정의이다. 라는 말을 뒷받침 해주고 있는겁니다.
그니깐 결국 뭐가 좀 더 정확한 정의냐? 라는 선택의 질문으로 귀결되는데, 그냥 고등학생들한테는 "ㅇㅇ AB=E=BA 가 될때 B가 A의 역행렬이다. 그게 정의야. 알겠지?" 라고 알려줘도 뭐 별로 의심스러워 하지 않겠지만, AB=E 라는 것만으로 AB=BA 를 유도해 낼 수 있다면, 당연히 AB=E 를 만족시키는 B를 역행렬이라고 정의하는게 맞죠.
AB=E 이면 A와 B는 역행렬 관계이기 때문에 교환법칙이 성립한다는 말과
AB=E이면 교환이 성립하기 때문에 둘은 역행렬 관계에 있다는 말은 엄연히 인과관계가 다른 명제입니다.
그리고 그 인과성이 자명하지도 않고, 보통 이 점에 이해가 부족한 것이 일반적이기 때문에 그 인과성을 밝혀줘야 한다는 의미죠.
... 이 글이 이해가 잘 안가는 문과생입니다.
코난님께서 말씀하시고자 하는바는
AB=E이면 A와 B가 역행렬관계라서 교환법칙이 성립한다.
는게 아니라
AB=E 이면 AB=BA 라서 역행렬관계가 성립한다는 말씀이신가요..?
그래도 AB=E 일때 AB=BA는 항상성립하는것은 맞죠?
네~~~ 님이 요약하신 그 내용 맞아요.
담부터는 글이 아닌 간단한 10분 내의 동영상으로 올리는 것이 이해의 측면에서 더 좋을까.... 고민중 입니다.
네~~ 님이 요약하신거 맞아요~~~ 맞습니다...
이해의 측면에서 다음부터는 글이 아닌 짤막한 동영상을 올릴까 고민중이네요....
케일리 헤밀턴의 정리 말고 고교과정으로는 증명할 수 없나요?
제가 알텍에서 관련 내용을 들었는데 한석원선생님께는 역원의 정의로 하시면서 설명하셨는데 제가 뭔가 완벽히 이해를 못한것 같네요.
제가 질문하면서 질문내용도 이해 잘 안되네요 공부해봐여 겠어요.
네~~ 수능기출이나 기타 등등 상당히 빈번하게 출제되니 꼭 정리하고, 이해하시기 바랍니다.
시중에 잘못된 설명이 너무 많아서 쉽지는 않을 겁니다...
역행렬 관계에 있는 행렬들이 모두 교환법칙이 성립하기 때문에, "역행렬이기 때문에 교환이 성립한다” 도 결론적으로 맞는 것으로 보이네요. 물론 역행렬의 정의를 정확히 아는 것은 중요하겠죠.
위의 세 문제 답좀 가르켜주세요
위의 세 기출문제 말씀하는 거죠? 정답은 위에서부터 차례로 3번, 3번, 5번입니다.
역원의 전제 조건이 교환법칙이 성립해야 한다는 것인데(연산결과는 항등원이지만 교환법칙이 성립하지 않은 연산이 무수히 존재함)
역행렬같은 경우 AB=E 라는 식만 주어진다면 B의 값이 결정되고 역연산 BA=E가 성립하므로 B가 A의 역행렬(역원)임을 알수있다.
즉 AB=E→BA=E이고 B는 A의 역행렬
흠 이거 맞나 ㅎㅎ
네 맞습니다.
AB=E 이면 A와 B는 역행렬 관계이기 때문에 교환법칙이 성립한다는 틀린 설명이고,
AB=E이면 교환이 성립하기 때문에 둘은 역행렬 관계에 있다는 설명이 올바른 설명입니다.
결론에 도달하는 근거가 서로 다릅니다... 인과관계가...
행렬이 왜 만들어졌는지 생각해보고 근본으로 돌아가면 될것같습니다만. 행렬이라는게 선형사상의 계수를 표현하기 위해 만든거죠.
그렇다면 좀더 근본적인 문제 R^n에 속하는 모든x에대해 선형사상 T, U : R^n -> R^n 에서 TU(x) =x 이면 UT(x)=x인가 ? 이걸 증명하면 되겠죠
TU(x)=x 라면 T는 전사가 됩니다. 즉, dim ( R(T) )=n 이되고 dim( R(T) ) + dim ( N(T) ) = dim ( R^n ) = n 이라는식에 의해 dim ( N(T) ) =0 이되어
T는 단사가 됩니다. 그렇다면 UT(x) = y 라고 놓고 T라는 사상에 집어 넣어 봅시다 . T(y)=TUT(x) = TU(T(x)) 이때 TU(x)=x 이므로 TU(T(x))=T(x) 가되네요
즉, T(y)=TUT(x)=TU(T(x))=T(x) 가 됩니다. T가 단사 이므로 x=y 따라서 TU(x)=UT(x)=x 가 되며 TU(x)=x or UT(x)=x 둘중하나면 보여도
TU=UT=I 가 됨을 보일수있습니다. 위에서 쓰인건 R^n -> R^n 으로 가는 선형사상 (즉 ,행렬) 이라는 매우 특수한 경우의 증명인데요.
단사,전사를 보임에 있어 dim theorem을 써서 고등학생용 증명법은 아닌데 실제로 증명은 이렇게 하는게 맞겠죠. 실제로AB=E일때 BA를 계산해서
성분의 특성으로 BA=E임을 도출하는것은 단지 계산으로 확인하는법에 불과하죠, 왜냐면 이런 결과가나오는 선형사상을 바탕으로
행렬의 곱을 정의 했거든요. 물론 정의할때 배경을 설명하지않고 바로 정의해서 고등학생은 행렬만을이용해서 어떻게든증명해야 한다고 생각하겠죠.
결국 증명은 대학과정이나 그 근본은 사실 행렬의 곱셈의 정의에서 비롯되는 선형사상의 문제라는것. 따라서 행렬을 통해 증명하는것보다
선형사상로 행렬을 정의 했으니 선형사상의 근본적 특성으로 증명하는것이 맞다는것이죠 ,
그러면 일반적인 사상(함수) f,g : R -> R 에대해서 생각해봅니다. 단 f,g는 전단사라고 가정합니다. f*g(x)=x이면 g*f(x)=x인가?
이건 고등학생이라면 증명할수있을겁니다. 전단사라는 가정을 줬기 때문에 제가 위에서 하던짓을 그대로 반복하면 됩니다. (dim theorem을 제외하고)
그러면 뭔가 고등학교 모의고사때 무의식적으로 쓰던 행위가 정당화되죠 . 교과서는 이렇게 씀 -> f*g(x)=g*f(x)=x 를 만족하는 g가 f의 역함수가 된다.
실제로 고등학생은 f*g(x)=x 이것만 확인함. 다행히 문제대부분에서 f,g가 전단사라서 맞음. 근데 전단사가 아니면 갑자기 이상해지면서
역함수 개념에 혼란이 오고 결국 대충 넘어감. 이문제가 행렬에서도 반복됨 악순환.
결론은 AB=BA=E이면 B를 A의 역행렬이라고 부를때 교환이 성립해서 역행렬이 된다는건 전혀 상관이 없구요.
역원이 존재하기 위해 연산의교환법칙이 성립할필요없습니다. 단 , AB=BA=E일때 교환이 성립할뿐이죠, 물론 교환성립한다고 역행렬관계도 아닙니다.
그냥 교과서 정의 그대로 받아들이면 됩니다. 단지 행렬이 선형사상이므로 AB=E 만을 통해 BA=E임을 알게 되고 정의에 의해 역행렬임을 알기때문에
AB=E만을 이용해서 문제를 풀수있는겁니다. 고1때 연산에대해서 배우는데 연산의 교환여부와 상관없이 e*a=a*e=a 가 되는 그러한 e를
항등원이라고 부르는거예요. 그리고 항등원은 유일하다는것도 보일수있죠 e' = e * e' = e' * e = e 참고로 역원의 유일성은 결합법칙성립으로 보장되죠
오 대단하십니다. 감사합니다. 잘 배웟어요 오랜만에 행렬을