예전에 올렸던 '쉽거나 어려운 문제'의 풀이
아무도 관심갖지 않는다는 것을 확인하고, 쓸쓸하게 풀이만 올립니다. ;ㅅ;
1, 2, 3번 풀이는 생략하고, 4번 풀이만 해 보겠습니다.
두 함수
과 
을 다음과 같이 둡니다.
단, a와 b는 다음 두 조건에 의하여 결정되며, a > 0 입니다.
그러면 간단한 계산을 통해
이고 따라서
임을 알 수 있습니다. 이제 함수 f(x)를 다음과 같이 분해합니다.
단, 여기서
입니다. 그러면
이 성립합니다. 그러면
이므로, 대입하여 정리하면, 문제에 주어진 부등식
은 다음과 필요충분조건입니다.
그런데 위 부등식은 임의의 p, q, g(x)에 대하여 참이므로, 원하는 바가 증명됩니다.
수학적인 표기를 동원하자면, 내적을 이용하여
![http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{Gray}%20L^{2}[0,1]%20=%20\left%3C%20\psi_0%20\right%3E%20\oplus%20\left%3C%20\psi_1%20\right%3E%20\oplus%20H%20}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7BGray%7D%20L%5E%7B2%7D%5B0,1%5D%20=%20%5Cleft%3C%20%5Cpsi_0%20%5Cright%3E%20%5Coplus%20%5Cleft%3C%20%5Cpsi_1%20%5Cright%3E%20%5Coplus%20H%20%7D)
로 분해한 후 살펴본 것이지요.
참고로 이외에도
로 두고 푸는 방법도 있습니다. 이 경우 광란의 부분적분을 통해
임을 알 수 있고, 역시 대입하여 정리하면 비슷한 꼴의 절대부등식으로 환원됩니다.
1, 2, 3번 풀이는 생략하고, 4번 풀이만 해 보겠습니다.
두 함수
단, a와 b는 다음 두 조건에 의하여 결정되며, a > 0 입니다.
그러면 간단한 계산을 통해
이고 따라서
임을 알 수 있습니다. 이제 함수 f(x)를 다음과 같이 분해합니다.
단, 여기서
입니다. 그러면
이 성립합니다. 그러면
이므로, 대입하여 정리하면, 문제에 주어진 부등식
은 다음과 필요충분조건입니다.
그런데 위 부등식은 임의의 p, q, g(x)에 대하여 참이므로, 원하는 바가 증명됩니다.
수학적인 표기를 동원하자면, 내적을 이용하여
로 분해한 후 살펴본 것이지요.
참고로 이외에도
로 두고 푸는 방법도 있습니다. 이 경우 광란의 부분적분을 통해
임을 알 수 있고, 역시 대입하여 정리하면 비슷한 꼴의 절대부등식으로 환원됩니다.
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감사합니다
[ ∫ xf(x) dx ]^2 ≤ ∫ x^2 dx · ∫ f(x)^2 dx = (1/3)[ ∫ f(x)^2 dx ]
에서 나아가는 방법은 없을까요? 뭔가 풀릴 것 같기도 하고 -ㅅ-a
글쎄요... 저는 잘 모르겠네요. 하지만 만약 부등식
(∫ xf dx)² ≤ (1/3)(∫ f² dx)
에다가 또 다른 절대부등식을 더해서 주어진 부등식을 얻어낼 수 있느냐는 질문에는,,, 아니라고 말씀드리고 싶네요. 두 부등식의 등호조건 자체가 다르거든요. -ㅁ-