[일반청의미]공부에 필수적인 3가지 연결.
안녕하세요. 오르비 class 강사이자, 세상에서 가장쉬운 수학 저자 이원엽입니다. 그냥 개념파는 사람입니다.
개념을 어떻게 정리해야하는지, 그리고 남은기간동안 실전모의고사를 풀 때, 어떻게 공부해야할지 여쭤보셔서 글씁니다.
이 글을 보시고, 충분히 개념과 예전의 문제들을 정리해주시길 바랍니다.
공부를 한 이후에는 그 공부한 내용을 정리해야합니다. 그 때 필요한 것이 배운 것들의 연결입니다.
목차를 통한 공부의 장점은 개념 사이의 연결을 보기 쉽도록 되어있다는 것입니다.
일반적인 시험에서 필요한 연결은 세가지입니다.
1. 개념과 개념 사이의 연결. - 개념 사이의 공통점과 차이점을 파악하고 정리한다.
2. 개념과 문제 사이의 연결. - 실제의 문제에서 어떤 개념이 어떻게 쓰이는지 파악한다.
3. 문제와 문제 사이의 연결. - 문제들 사이의 공통점을 파악하고 정리한다.
첫 번째는 개념과 개념 사이의 연결입니다.
단언컨대, 공통점과 차이점을 이용해 정리하는 것은 가장 유용한 정리방법입니다.
어떤 묶음이 가진 공통적인 특징으로 그 묶음을 정의하고, 차이점으로 각각의 개별적인 특징과 성격에 대해 생각해보는 것.
이것은 모든 공부에 적용할 수 있는 기본적인 방법입니다..
이것은 올해 초 칼럼으로 쓴 적이 있습니다 https://orbi.kr/00011508613
다시한번 설명해보겠습니다.
수학과목의 개념공부를 생각해봅시다.
미적분 1과 미적분 2에서 배우는 내용은 무엇일까요?
미적분 1은 함수의 극한과 연속, 미분과 적분을 배웁니다.
미적분 2에서는 지수, 로그함수와 삼각함수, 그리고 미분법 이계도함수, 그리고 적분법을 배우죠.
여기서 공통점은 무엇일까요? 바로
함수를 다룬다는 점.
입니다.
좌표평면에 나타낼 수 있는 함수를 다루는 과목이 미적분입니다.
그렇다면 차이점은 무엇일까요? 우리는 미적분 1에서는 다항함수에 대한 내용만 배웁니다.
미적분 2에서는 더욱 복잡하고 어려운 함수를 배우게 됩니다. 어찌보면 미분하기 쉽지 않은 함수들을 배우게되지요.
어려운 함수의 극한을 배우면 도함수도 극한을 통해 구할 수 있게 됩니다.
그렇지만 적분은 미분의 거꾸로입니다. 미분은 공식이라도 있지, 적분은 공식도 없어요. 더 어렵겠죠.
즉, 매우 어려운 적분을 배운다는 것입니다!
매우 어려운 적분문제를 계산하기 위해서 우리는 적분법을 배울것입니다.
어떻게 적분할 수 있는지에 대한 스킬부분을 많이 배울거에요. 적분은 미분 거꾸로이기 때문에
미분법또한 배우게 됩니다. 결국 차이점은 간단한 다항함수인지, 어려운 함수인지가 되겠네요.
그렇다면 미적분과 기하와 벡터는 어떻게 다를까? 이런 식으로 공통점과 차이점을 찾아가야합니다.
공통점과 차이점을 이용해서 개념을 정리하고, 개념이 왜 필요한지, 어떻게 필요한지 정리합니다.
이렇게 정리할 때 생소한 문제가 나와도 어떤 부분의 개념을 써야할지 대략적으로 알 수 있어요.
이렇게 정리하기에는 목차를 통한 정리를 해야합니다. 그 연결이 보여야합니다. 물론 교과서수준에서요.
두 번째는 개념과 문제 사이의 연결입니다.
문제에 나온 표현에서 어떤 특징을 가진 개념을 써야할지 유추합니다..
세부적인 특징을 기억한다면, 문제에 써야할 개념을 확실하게 알 수 있습니다.
앞에서 정리한 개념을 바탕으로 실제에 적용해보아야 합니다.
다음 문제를 봅시다.
g(x)가 실수 전체에서 미분가능하도록 하는 자연수의 값의 합을 구하라고 합니다.
미분계수와 도함수 단원에서 미분가능성에 대한 정의가 나와요.
이 정의에 따라서 생각해보면, 절댓값 기호를 포함한 함수는 미분계수가 존재하지 않을 수 있습니다.
절댓값 안에 있는 수가 음수일 때, 마이너스 부호를 붙이게 되므로 그 때 함수식이 바뀌게 됩니다.
함수 식이 바뀌는 순간 미분 불가능할 수 있기 때문에, 우리는 그 순간을 찾아야해요.
또한 시그마 기호가 있습니다. 시그마 기호의 정의는 수열의 합입니다.
수열의 정의는 수의 나열입니다. 수열의 규칙을 찾는 이유는, 수를 계속 나열하기 위해서입니다.
앞에서의 개념 연결을 잘 했다면, 왜 등차수열과 등비수열을 먼저 배우는지에 대한 생각도 했어야합니다.
당연히, 간단한 규칙부터 먼저 소개하는 것입니다. 그래야 어려운 규칙도 파악할 수 있으니까요.
그렇다면, 이 문제에 있는 수열의 합도 나열해보면서 생각해봐야합니다.
이 문제의 경우는 나열해보면서 생각하면 규칙이 보여요. 그것을 통해 문제를 해결할 수 있습니다.
문제에 제시된 설명과 개념을 바로 연결해봐야 합니다. 그 때 개념으로 문제를 해결할 힘이 길러집니다.
물론, 이 연결도 당연히 개념과 문제의 공통점을 발견하면서 이루어진다고 볼 수 있습니다.
기본은 괜히 기본이 아닙니다. 하지만 기본만 잡다보면 실제의 문제를 해결할 수 없습니다.
실제에 기본을 적용하는 연습을 할 때 비로소 실력이 늘 수 있습니다..
쓰지 않는 지식은 지식이라 할 수 없습니다. 어떻게 기본을 실제에 적용해야할지 고민해야합니다..
어디에 적용해야할지, 왜 적용해야할지를 계속 고민해보세요.. 그 근거와 이유는 반드시 있습니다.
세 번째는 문제와 문제 사이의 연결입니다.
기존 문제를 해결한 경험을 바탕으로 새로운 문제에 대한 해결방향을 생각합니다.
기본 개념은 변하지 않습니다. 즉, 기존에 해결한 문제들이 반드시 존재합니다.
그것을 다른 문제와 연결지어 정리해주세요. 그러면서 개념의 쓰임이 더욱 명확해질 것입니다.
여기에서 실모의 가치가 생깁니다. 학습 목적의 실전모의고사 훈련에서는 이 과정이 필수입니다.
다음 문제를 봅시다.
2017학년도 9월 평가원 수학 B형 30번.
이해가 되나요? 위에 있는 2015학년도 수능 문제와 연결이 되어야합니다.
이계도함수가 존재하려면, 도함수가 존재해야합니다.
또한, 도함수가 존재하려면 절댓값에 의해 함수가 바뀌는 부분에서 미분 가능해야합니다.
절댓값 기호가 두 개 존재하며, 안쪽에 있는 절댓값에 의해 함수가 먼저 바뀝니다.
함수가 바뀌는 곳을 잘 찾아주면, 반드시 이 문제를 풀 수 있습니다.
특히 시험에서 기출문제는 빠질 수 없는 자료입니다. 이제 기출문제를 풀 때 다른 문제와 연결해봅시다.
교과서 문제와 다른 기출문제들과 연결하고 공통으로 사용된 개념으로 다시 돌아가봅시다..
정리해보면. 우리가 해야하는 연결은 3가지입니다.
1. 개념과 개념 사이의 연결.
2. 개념과 문제 사이의 연결.
3. 문제와 문제 사이의 연결.
이 3가지를 항상 반복한다면, 문제에 적용할 수 있는 기본실력을 얻게 될 것입니다.
비단 시험공부 뿐만이 아닙니다. 계속 사용해야 하는 지식이라면 계속 적용하고 정리해야합니다.
이렇게 정리한 이후라면, 한층 더 실제에 적용할 수 있는 이론을 얻을 수 있을 것입니다.
아마, 이 연결은 실제의 학문에서 이렇게 연결되리라 생각합니다.
1. 이론과 이론 사이의 연결.
2. 이론과 실제 사이의 연결.
3. 실제와 실제 사이의 연결.
즉, 경험과 이론은 항상 동시에 가야한다는 것입니다.
책만 읽고서는 아무것도 바꿀 수 없습니다. 그렇다고 행동만으로는 깊이가 없습니다.
두가지가 조화가 되어야한다는 것은 동서양의 고전에도 나오는 이야기입니다.
이제, 연결하면서 부족한 점을 계속 발견할 것입니다.
부족한 부분을 충실히 채우고 고민하면서 해결하시면 반드시 완벽해질 수 있을 것입니다.
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ㄱ그런데 청의미님은 치과의사를 안 하시고 나중에 강사를 하실 건가요?
현재 본과생이신가요?
수학강사로 남지는 않을 생각입니다.
그것이 금전적으로 아무리 이득을 보더라도, 제 꿈과는 같지않습니다.
더 많이 배우고 더 많이 생각할 예정입니다.
그것을 통해 더 유의미한 변화를 원합니다.
조금 더 겸손하게 배우겠습니다. 여러 활동도 많이할 생각입니다.
필요하다면 여러곳을 뛰어보겠습니다. 어떤 말도 놓치지 않을 생각입니다.
그렇게 배우고 발전하다보면, 무언가 유의미한 변화를 이끌어낼 수 있지 않을까요?
나중에 이원준 강사님 같은 분이 되셔도 좋아보입니다..
존경합니다.. 저도 의치한 가서 일반청의미님 같은 사람이 되고 싶습니다.
의치한에 가는게 어렵군요..
수학강사를 직업으로 할일은 없습니다. 만약 잠시 그렇다 하더라도 수학강사로 끝맺지는 않을것입니다.
반드시, 제 배운것이 여러분에게 도움되도록 하겠습니다.
저의 롤모델이 생겼습니다.
일반청의미님 처럼 되어서 아이들을 위해서 봉사하는 인간이 되고싶습니다.
저는 그럴만한 인물이 아닙니다. 저는 그저 따라가는것 뿐입니다. 저보다 더한분들이 많이 계십니다. 항상 많이 배우고 익히고있습니다. 감사합니다.
와 진짜 멋있당...
전혀 그렇지 않습니다.
아직 실수가 많은 저임에도 행동보다 말을 더 과분하게 받습니다.
더 열심히할게요
선생님!개념을 공부할때 자세히 이해하며 공부해야하나요???제가 지금생질강의를 듣고 있는데요 예를들면 이차함수에 직선이 ab에서 만날때 ab를 밑변으로 하고 이차함수 위의점p를잡고 삼각형 넓이가 최대가 되라 라고했을때 접선의기울기가 평균변화율과 같을때이잖아요?? 이런거 같을것늘 증명하며 외워야하나요??대충 이해는가는데 증명같이 정확히는 모르겟어서요 ㅠㅠ
..... 그거 이해해야합니다.
왜 높이가 접선의 접점일때 최대인지 아셔야해요...
그거 원의 접선에서 더 생각해보면 아실건데..
고1 수1과정에서 이미 사고하셔야하는 문제입니다.
어떻게 공부해야할까요??ㅠㅠ고2이과입니다..ㅜ
엥.... 그러면 정말 시간이 많이 남는데..
일단 개념 공부하신것 이 글 보시고 따라서 정리하세요.
연결짓다보면 이해하실거임 그 세세한것까지요
적어도 한달전까지는 정확하게 이해해주셔야합니다.
이해해주시지 않으면 그걸 수능까지 외우고 있어야하는데, 외우는것만으로는 비킬러까진 괜찮지만 킬러까지 대비하긴 어렵습니다.
이미 지금하기엔 늦은듯 ㅎㅎ...
지금은 2번이나 3번하시면 됩니다.
물론 1번을 완벽히 하시면 좋습니다만
언제나 부족한 걸 채우는 것에는 늦은시간 없습니다.
근데 늦으면서도 늦지도않은듯한 느낌? ㅋㅋ
제가 지금 하고있는게 어쩌면 2번과정일수도 있겠네요
기출문제를 보는건 이제 의미없을 정도로 기계처럼 많이 풀어서 저만의 해설지를 만드는데
내가 시험장에서 이 문제를 봤다면 어떻게 시작했을까?
왜 미분 적분 이런그림을 그렸을까?
이 문제에선 어떤 개념과 인식 태도가 필요할까?
작년 30번을 예로들면 분수식을 기울기에 대한 함수로 인식한다는둥..
이제는 3번을 할 차례인가봐요
네. 그 의문에 대한 답이 어떻게든 발전을 이끌어내줄겁니다.
최대한 채우세요. 채우면 반드시 성과가 있을겁니다.
어떤책으로 해야할까요..??생질이랑교과서있는뎁...
생질은 저도 모르겠고 일단 기본은 교과서입니다.
두유 추천좀요
ㅇㅅㅇ
교과서만 해도되나요..??
기출문제 풀이나 다양한 문제풀이에서 교과서로 다시 돌아가야죠.
그러라고 교과서와 기본서가 있는겁니다.
무슨말씀이시죠..??말을 어렵게하시는거같아요ㅜㅜ
문제풀이에서 막히는 게 있다면 교과서의 방법과 개념을 다시 보시라는겁니다. 그렇게해야 교과서의 개념을 문제풀이에 적용할 수 있어요. 그러니까 교과서와 문제풀이 동시에 하셔야한단겁니다.
교과서만 하는게 아니라, 문제풀이 사이에 교과서를 복습하는 것을 추가하셔야된단거에요.
일단은 기벡까지진도를 못나갓는데 진도를 나가야하나요..??!
문제집은 쎈이나 EBS 많이 있습니다.
고3이상이면 기벡까지 하고 하셔야하는데
고2면 진도 맞춰 나가셔도 됩니다.
1등급 턱걸이 컷이 목표인 수학가형응시생입니다
남은 70일동안 마약 풀까요?풀지말까요..,
지금 기출 많이 푸셨다면 실모나 마약 돌려도됩니다.
기출이 익숙해서 뭔가를 얻기 힘들때 n제와 실모를 푸는것입니다.
교과서는 어느 교과서든 다 괜찮나요?
네. 검정교과서는 모두 괜찮습니다.
쎈이나 이런거 푸는게이득인가요?? 교과서기출명작?이랑 님책만내년6월까지보고 그이후에 n제등등 건드리는걸로 아는데...ㅜ
지금 고2라고 하셔서 추천해봤습니다.
내신 준비에는 쎈이 좋구요. 그 문제 각각에 개념을 생각하고 고민할 수 있다면 좋습니다.
하지만 수능용은 아닙니다.
EBS도 좋습니다. EBS는 내신과 수능 모두에서 좋은 문제집입니다. 물론 수능형 문제집은 아닙니다.
또한 기출도 할만할 듯 합니다. 하지만 굳이 수능에만 특화된 문제집을 지금부터 할필요는 있지않습니다. 내신을 더 준비하셔도 좋습니다.
지금은 이렇게 하시고 수능준비시작할때 학생께서 댓글에 적은대로 하시면됩니다.
또한 제 책은 그 제목에서도 보시듯 지금당장 보셔도 그렇게 어렵지는 않을듯합니다.
정시러인데내신문제를 풀면도움이될꺼요?
아얘 정시로 준비하시는거면 정시에 맞추시는게 낫습니다.
그렇다면 지금부터 진도 끝내세요. 기출 빨리 들어가셔야합니다.
크 연극 끝나고 바로 이런 좋은 글을...
지금끝났습니다..ㅎㅎ
지금 끝나셨구나...ㅎㅎ
수능은 저런거 깊게팔필요없나요..!??
제 생각에는 고난도에만 필요할듯 한데 요즘 고난도 늘어나는 추세니 한번쯤 하는 것도 나쁘지 않을것같아요
님이 쓴 댓글에 쓰여져있는것대로 하시면 됩니다.
여지껏 칼럼 중에 제일 핵심을 뚫는 가장 일반적인 학문 접근방법같네요
좋은 말씀 감사드립니다. 실제로 유럽 어느 대학인지 잘은 기억안나는 데
양자역학과 경제학 중 어떤 개념의 유사성을 따지는 수업도 있었는 데
이거보고 다시 생각해봅니다